Sinkhorn 算法、抛物型最优传输与几何 Monge-Ampère 方程
偏微分方程分析
2020-06-29 v4 数值分析
数值分析
摘要
我们证明，在紧流形上最优传输设定中应用的离散 Sinkhorn 算法，在大尺度极限下收敛于一个 Monge-Ampère 型的完全非线性抛物型偏微分方程的解。该演化方程此前曾在不同背景下出现（例如在环面上可识别为 Ricci 流）。这导致了最优传输映射的势以及最优传输距离的算法逼近，并带有关于构造的算术复杂度和逼近误差的显式界。作为应用，我们获得了在环面与二维球面上以及远场天线问题中，每次迭代近线性复杂度的最优传输显式格式。并利用到与拟蒙特卡洛方法的联系。
引用
@article{arxiv.1712.03082,
title = {The Sinkhorn algorithm, parabolic optimal transport and geometric Monge-Amp\`ere equations},
author = {Robert J. Berman},
journal= {arXiv preprint arXiv:1712.03082},
year = {2020}
}
备注
v3: Major revision; the general exposition has been improved and the main results have been improved for smooth data (Section 5.4). 52 pages v4: This is essentially the version that will appear in Numerische Mathematik