半离散最优传输的牛顿算法收敛性

几何光学或凸几何中的许多问题可被重新表述为最优传输问题：这包括远场反射器问题、Alexandrov 曲率预设问题等。解决这些问题的一种流行数值方法是假设源概率测度绝对连续而目标测度具有有限支撑。我们称此设置为半离散最优传输。在提出的多种求解半离散最优传输问题的算法中，目前需在缓慢但带有收敛速度分析（如 Oliker-Prussner）的算法与实践中快得多但无收敛保证的算法之间做选择。第一类算法依赖坐标方向增量，达到误差 $\epsilon$ 内解所需的迭代次数量级为 $N^3/\epsilon$，其中 $N$ 为目标测度中 Dirac 质量的数量。另一方面，第二类算法通常依赖将半离散最优传输问题表述为无约束凸优化问题，并使用牛顿或拟牛顿法求解。本文旨在通过引入一种实验高效且被证明以最优速率全局收敛的阻尼牛顿算法，弥合理论与实践之间的鸿沟。主要假设为：代价函数满足最优传输正则性理论中出现的条件（Ma-Trudinger-Wang 条件），且源密度支撑以定量方式连通（必须满足加权 Poincar\'e-Wirtinger 不等式）。