Sinkhorn半群稳定性的新趋势

熵最优传输问题在机器学习和生成建模中扮演着越来越重要的角色。与通常在低维中适用性有限的最优传输映射不同，Schrödinger桥可以使用著名的Sinkhorn算法（又称迭代比例拟合过程）求解。当迭代次数趋于无穷时，Sinkhorn桥的稳定性性质是应用概率和机器学习中一个非常活跃的研究领域。传统的收敛性证明主要基于非线性Perron-Frobenius理论及相关Hilbert射影度量技术、梯度下降、Bregman散度技术以及Hamilton-Jacobi-Bellman方程，包括基于反射方法耦合扩散的凸性轮廓传播。本综述文章的目标是以自包含的方式，介绍近期基于收缩系数和Lyapunov型算子理论技术发展的Sinkhorn/Gibbs型半群分析。这些强大的现成半群方法基于输运成本不等式（如log-Sobolev、Talagrand二次不等式、曲率估计）、φ-散度、Kantorovich型准则以及加权Banach空间上的Dobrushin收缩型系数和Wasserstein距离。这种新颖的半群分析允许统一和简化Sinkhorn算法稳定性中的许多论证。它还产生了关于广义φ-熵、加权全变差范数、Kantorovich准则和Wasserstein距离的新收缩估计。