在 JKO 方案中使用 Sinkhorn 算法引入线性扩散

JKO 方案是一种类隐式欧拉时间离散方案，用于构建具有 Wasserstein 梯度结构的演化偏微分方程的弱解。本文旨在研究在该方案的每个步骤中将经典二次最优传输问题替换为 Schr"odinger 问题（即以 Sinkhorn 算法高效计算的熵正则化最优传输）的效果。我们发现，当 $\epsilon$ 为 Schr"odinger 问题的正则化参数，$\tau$ 为时间步长参数时，若考虑极限 $\tau,\epsilon \to 0$ 且 $\frac{\epsilon}{\tau} \to \alpha \in \mathbb{R}_+$，则在限制 PDE 的右侧添加项 $\frac{\alpha}{2} \Delta \rho$。当 $\alpha = 0$ 时，我们改进了 Carlier、Duval、Peyr{\'e} 和 Schmitzer (2017) 的先前结果。