关于平面最优传输映射的不连续性

考虑 $\mathbb{R}^{2}$ 中的两个有界域 $\Omega$ 和 $\Lambda$，以及支撑在它们上的两个足够正则的概率测度 $\mu$ 和 $\nu$。根据 Brenier 定理，存在唯一的传输映射 $T$ 满足 $T_\#\mu=\nu$ 并最小化二次代价 $\int_{\mathbb{R}^{n}}|T(x)-x|^{2}d\mu(x)$。此外，根据实 Monge--Amp\`ere 方程的 Caffarelli 正则性理论，如果 $\Lambda$ 是凸的，则 $T$ 是连续的。我们研究逆问题，即当 $\Lambda$ 非凸时，$T$ 何时不连续？我们在二维情况下证明了一个结果，根据 $\Lambda$ 和 $\Omega$ 的几何形状保证 $T$ 的不连续性。主要思想是利用凸分析工具和 $\partial\Lambda$ 的外在几何来区分 Monge--Amp\`ere 方程的 Brenier 弱解和 Alexandrov 弱解。我们还利用这种方法给出了 Wolfson 和 Urbas 所得结果的新证明。最后，我们回顾了 Caffarelli 的一个例子，详细研究了两个显式域之间的不连续映射，并精确确定了不连续发生的位置。