最优运输问题解映射的正则性
偏微分方程分析
2013-01-29 v3
摘要
我们给出了代价函数的一个充要条件，使得对任意光滑正数据，Monge 最优运输问题的解映射是连续的。该条件由 Ma、Trudinger 和 Wang \cite{MTW, TW} 首次引入，用于相应 Monge-Ampère 方程的先验估计。它由所谓的{\em 代价截面曲率}（cost-sectional curvature）非负来表示。我们证明当代价函数是黎曼流形的平方距离时，代价截面曲率给出截面曲率。由此可知，若流形并非处处具有非负截面曲率，则对任意光滑正数据，最优运输映射{\em 不可能连续}。代价截面曲率的非负性被证明等价于任意代价凸函数（凸函数的恰当推广）与其任一支撑函数之间接触集的连通性。当代价截面曲率一致为正时，相较于欧几里得情形所需的条件，我们在相当弱的数据假设下得到最优映射是连续的或 Hölder 连续的。此情形包括反射天线问题与球面上的平方黎曼距离。
引用
@article{arxiv.math/0504137,
title = {On the regularity of maps solutions of optimal transportation problems},
author = {G. Loeper},
journal= {arXiv preprint arXiv:math/0504137},
year = {2013}
}