具有缺陷型代价函数的最优传输及其在透镜折射问题中的应用

我们定义并讨论了球面上一类我们称之为缺陷型代价函数（defective cost functions）的代价函数的性质。随后我们讨论如何将这些定义及部分性质推广至欧几里得空间及嵌入欧几里得空间的曲面上定义的代价函数。缺陷型代价函数的一些重要性质是：其导致的最优传输映射沿测地线映射到点上、具有非零混合 Hessian 项，以及其他重要性质。我们还计算了一大类代价函数的代价截面曲率（cost-sectional curvature），以验证一些已知的代价函数例子，并轻易证明了一些新代价函数的正代价截面曲率。最后，我们讨论了如何通过在对适当定义的区域上满足 Ma-Trudinger-Wang（MTW）条件，为缺陷型代价函数构建正则性理论。在发展中缺陷型代价函数的正则性理论时，我们讨论了这些结果如何应用于远场透镜折射问题的一个具体实例。