最优传输与高斯曲率方程

在这篇短文中，我们考虑在欧氏空间中区域上函数图像的 Gauss 曲率与 Gauss 映射像的指定问题。Gauss 映射像的指定使该问题成为一个第二边值问题。我们的主要观察是，此问题可表述为一个最优传输问题，其中目标集为 $\mathbb{S}^n$ 下半球的一个子集。由此，在曲率上的温和假设下，我们得到了解的存在性与正则性，以及 Urbas 所证梯度爆破结果的一个定量版本，该结果恰好落入最优传输框架之中。