连续性、曲率与最优输运的一般协变性

设 M 和 \bar M 为配备了合适 Borel 概率测度 \rho 和 \bar\rho 的 n 维流形。Ma、Trudinger 和 Wang 给出了运输成本 c \in C^4(M \times \bar M) 的充分条件，以保证将 \rho 前推至 \bar\rho 的最优映射的光滑性；Loeper 推导了这些条件的必要性。本手稿表明，这些条件的形式很大程度上由问题的协变性决定；我们将它们表达为成本 c 在乘积空间 M \times \bar M 上诱导的一种新颖但自然的伪黎曼几何中，某些零平面的截面曲率的非负性。Loeper 建立了针对更粗糙质量分布的最优映射的 H"older 连续性，但仍依赖于 Trudinger 和 Wang 的一个关键结果，该结果要求域和成本具有特定结构。我们继续发展适用于可微流形上质量分布的理论——将 Loeper 的黎曼示例（如圆球面）作为特例恢复——给出了上述关键结果的直接证明，并修正了 Loeper 的 H"older 连续性论证，使其在逻辑上独立于所有早期工作，同时将其扩展到限制更少的几何结构和成本函数，即使对于 R^n 的子域 M 和 \bar M 也是如此。我们还利用淹没和张量积给出了满足假设的新几何示例，并探讨了其与辛几何中类空拉格朗日子流形的一些联系。