最优映射的Hölder连续性与单射性
摘要
考虑将一种质量分布输运到另一种质量分布，以优化总期望成本，其中从x到y的单位质量运输成本由光滑函数c(x,y)给出。如果源密度f^+(x)在开区域U' ⊂ R^n内远离零和无穷大，目标密度f^-(y)在其支撑集\cl V ⊂ R^n上远离零和无穷大，且该支撑集关于U'是强c-凸的，并且运输成本c满足Trudinger和Wang的A3w条件\cite{TrudingerWang07p}，我们推导出U'内部最优映射的局部Hölder连续性和单射性（因此关联势u属于C^{1,\alpha}_{loc}(\U')）。这里的指数α>0仅依赖于维数和密度边界，而不依赖于c。我们的结果为低/内部正则性设定提供了一个关键步骤：在后续文章\cite{FigalliKimMcCann09p}中，我们利用它来建立关于任意球面乘积上黎曼距离平方的最优映射的正则性。本文引入了三个关键工具。首先，我们找到了一个在A3w条件下使c-凸函数成为水平集凸函数的变换（Liu\cite{Liu09}也独立得到了这一结果）。然后，我们为水平集凸的c-凸函数推导了新的Alexandrov型估计，以及一个表明最优映射不混合内部与边界的拓扑引理。这个不依赖A3w条件的拓扑引理被Figalli和Loeper\cite{FigalliLoeper08p}用于推断二维最优映射的连续性。在更高维度中，如果密度f^\pm是Hölder连续的，我们的结果允许从Liu、Trudinger和Wang\cite{LiuTrudingerWang09p}的工作中推导出U'内部映射的连续可微性（事实上，是关联势的C^{2,\alpha}_{loc}正则性）。
引用
@article{arxiv.1107.1014,
title = {H\"older continuity and injectivity of optimal maps},
author = {Alessio Figalli and Young-Heon Kim and Robert J. McCann},
journal= {arXiv preprint arXiv:1107.1014},
year = {2011}
}
备注
This paper supersedes the earlier paper "Continuity and injectivity of optimal maps for nonnegatively cross-curved costs" arXiv:0911.3952v1. The results in the present paper are now proven under the sharp A3w condition. 48 pages, 10 figures