多球面乘积流形上最优传输映射的正则性

本文研究了黎曼流形上代价为“平方距离”的最优传输映射的正则性，这些流形是任意多个、具有任意大小和维度的标准球面的乘积。已知此类流形具有非负交叉曲率[KM2]。在传输源密度和目标密度有界且非零的假设下，我们证明了最优映射远离割迹（代价在此处表现出奇异性），并得到了最优映射的单射性和连续性。结合Liu、Trudinger和Wang[LTW]的结果，对于更光滑（$C^\alpha / C^\infty$）的密度，这还蕴含了最优映射的更高正则性（$C^{1,\alpha} / C^\infty$）。据我们所知，这是关于在具有某些消失截面曲率的非平坦黎曼流形上最优映射的首批全局正则性结果。此外，此类乘积流形在统计学（见[S]）和统计力学（其中由许多自旋组成的系统状态经典地由相空间中的一个点建模，该相空间通过取多个球面的乘积得到）中具有潜在的相关性。在证明中，我们应用并扩展了[FKM1]中发展的方法，该方法在$\mathbb{R}^n$中的区域上，针对光滑的非负交叉曲率代价，证明了最优映射的单射性和连续性。本文的主要障碍在于处理非平凡的割迹以及平坦方向的存在。