伪黎曼几何将信息几何嵌入最优传输

最优传输与信息几何均研究概率分布空间上的几何结构。最优传输刻画从一个分布到另一个分布的成本最小化运动，而信息几何源于统计推断的坐标不变性质。它们在统计与机器学习中的联系与应用已开始获得更多关注。在本文中我们给出两领域间一个新的微分几何联系。即，Kim和McCann的伪黎曼框架——最优传输映射正则性理论中基本Ma-Trudinger-Wang（MTW）条件的几何视角——编码了统计流形的对偶结构。这一一般关系使用$c$-散度（由最优传输映射定义的散度）的自然框架描述。作为副产品，我们获得MTW张量的一个新的信息几何解释。该联系阐明了信息几何旧有的和新近的方面。Bregman散度的对偶平坦几何对应于二次代价与伪欧氏空间，且由Pal和第一作者引入的$L^{(\alpha)}$-散度在将要精确化的意义下具有常截面曲率。在这些情形中，我们给出了信息几何曲率关于原始-对偶测地线对之间散度的几何解释。