从最优传输与信息几何看矩阵分解的几何
微分几何
2017-11-21 v5 数值分析
摘要
概率密度空间是一个无限维黎曼流形，具有两种黎曼度量：Wasserstein 和 Fisher--Rao。前者在最优质量传输 (OMT) 中至关重要，而后者出现在信息几何中——即统计的微分几何方法。这些黎曼结构限制到多元高斯分布的子流形上，并在协方差矩阵空间上诱导出黎曼度量。在此，我们借助黎曼几何与相容主丛结构，对经典矩阵分解（或因子分解）给出系统性描述。讨论了 Wasserstein 和 Fisher--Rao 两种几何。通过考虑线性变换与多元高斯分布范畴下的最优质量传输与信息几何，建立起与矩阵的联系。如此，OMT 直接关联于矩阵的极分解，而信息几何直接关联于 、Cholesky、谱分解和奇异值分解。我们还给出了各种分解的梯度流方程的连贯描述；多数流在数值例子中予以说明。本文是已知结果与原创新结果的结合。作为综述，它涵盖了 OMT 与极分解（光滑与线性范畴）的黎曼几何、熵梯度流、以及 Fisher--Rao 度量及其在多元高斯分布统计流形上的测地线。原创贡献包括与各种矩阵分解相关的新梯度流、对先前研究的等谱流的新几何解释、以及基于熵梯度流的矩阵极分解的新证明。
引用
@article{arxiv.1601.01875,
title = {Geometry of Matrix Decompositions Seen Through Optimal Transport and Information Geometry},
author = {Klas Modin},
journal= {arXiv preprint arXiv:1601.01875},
year = {2017}
}
备注
Major revision of the first version. 61 pages, 10 figures