黎曼对称空间上的高斯分布:具有结构化协方差矩阵的统计学习
统计理论
2017-05-15 v2 统计理论
摘要
协方差矩阵的黎曼几何对于计算机视觉、生物医学信号与图像处理以及雷达数据处理中的若干成功应用至关重要。对于这些应用,一个持续的挑战是开发适应结构化协方差矩阵的黎曼几何工具。本文通过引入一类新的概率分布——结构化协方差矩阵的高斯分布,来应对这一挑战。它们是高斯分布的黎曼类比,仅从具有预定结构(如复数、Toeplitz 或块状 Toeplitz)的协方差矩阵中采样。这些分布的有用性源于三个特征:(1)在处理大型协方差矩阵时,它们在解析或数值上完全可控;(2)它们为结构化黎曼重心(即 Fréchet 均值或几何均值)的概念提供了统计基础;(3)它们导出了高效的统计学习算法,这些算法实现了结构化协方差矩阵的密度估计和分类等任务。本文从以下观察出发:从几何观点来看,若干结构化协方差矩阵构成的空间是黎曼对称空间。相应地,本文发展了关于黎曼对称空间上高斯分布、其统计推断及其与黎曼重心概念之间关系的原创理论。然后,利用这一原创理论详细描述了三种结构化协方差矩阵(复数、Toeplitz 和块状 Toeplitz)的高斯分布。最后,描述了基于高斯分布混合模型的结构化协方差矩阵密度估计和分类算法。
引用
@article{arxiv.1607.06929,
title = {Gaussian distributions on Riemannian symmetric spaces: statistical learning with structured covariance matrices},
author = {Salem Said and Hatem Hajri and Lionel Bombrun and Baba C. Vemuri},
journal= {arXiv preprint arXiv:1607.06929},
year = {2017}
}
备注
Final version