黎曼对称空间、随机矩阵与平面 Feynman 图上的高斯分布
概率论
2023-02-16 v1 数学物理
math.MP
摘要
高斯分布可从欧氏空间推广到广泛的黎曼流形类。流形上的高斯分布在应用中更难利用，因为其归一化因子（我们称之为配分函数）通常是复杂的、难以处理的积分，且一般以高度非线性的方式依赖于给定分布的均值。尽管如此，在黎曼对称空间上，配分函数独立于均值，并化为有限维向量空间上的积分。当底层对称空间的维数（更确切地说，秩 ）变大时，这些积分通常在数值上仍难以计算。在正定 Hermitian 矩阵空间上，可以利用随机矩阵理论中的方法及所谓的 Stieltjes-Wigert 多项式精确计算这些积分。在应用感兴趣的其他情形中，例如对称正定（SPD）矩阵空间或 Siegel 域（与块 Toeplitz 协方差矩阵相关），这些方法似乎不能很好地奏效。尽管如此，仍可在大 极限下计算首项，其随 增大提供愈发精确的近似。该极限的灵感源于将给定配分函数实现为零维量子场论乃至 Chern-Simons 理论的配分函数。从这一视角，大 极限自然出现，并涌现出鞍点方法、Feynman 图以及关联不同空间的某些普适性。
引用
@article{arxiv.2106.08953,
title = {Gaussian distributions on Riemannian symmetric spaces, random matrices, and planar Feynman diagrams},
author = {Simon Heuveline and Salem Said and Cyrus Mostajeran},
journal= {arXiv preprint arXiv:2106.08953},
year = {2023}
}