Schrödinger 算子特征值的定量稳定性、定量浴缸原理及其在双线性最优控制问题转弯性质中的应用

本文从定性角度研究两个优化问题。第一个涉及一般区域上 Schrödinger 算子谱优化问题的定量不等式，第二个涉及双线性最优控制问题的转弯（turnpike）性质。在本文第一部分，我们在温和的技术假设下，证明了在 $L^\infty$ 和 $L^1$ 约束下，关于势 $V$ 优化具有 Dirichlet 边界条件的 $-\Delta-V$ 的第一特征值的定量不等式。这是通过使用一种依赖定量浴缸原理的关键新证明方法完成的。我们相信我们的方法可推广到其他稳态椭圆优化问题。在本文第二部分，我们利用该不等式处理转弯问题。即，考虑形式为 $u_t-\Delta u=\mathcal V u$ 的双线性控制系统，$\mathcal V=\mathcal V(t,x)$ 为控制，在 $\mathcal V$ 的 $L^\infty$ 和 $L^1$ 约束下，我们能否给出优化问题 $\sup \int_\Omega u(T,x)dx$ 解的定性信息？我们证明特征值的定量不等式蕴含积分转弯性质：定义 $\mathcal I^*$ 为特征值优化问题的最优势集合，$\mathcal V_T^*$ 为双线性最优控制问题的解，则量 $\int_0^T \operatorname{dist}_{L^1}(\mathcal V_T^*(t,\cdot)\,, \mathcal I^*)^2$ 关于 $T$ 一致有界。