偏微分方程、ResNet 及更广领域中最优控制的转向性质

当代宏观经济学中的\emph{转向性质}（turnpike property）断言，若经济计划者寻求将经济从某一资本水平转移到另一水平，则最高效的路径（只要计划者拥有足够时间）是迅速将存量移动到接近最优平稳或恒定路径的水平，然后让资本沿该路径发展直至接近所需期限，此时再将存量移动到最终目标。部分受其作为资源分配策略本质的启发，在过去十年中，转向性质也被证明对力学中出现的几类偏微分方程成立。在数学形式化后，转向理论证实了来自经济学的洞见：对于有限时间区间上的最优控制问题，最优控制及相应状态在大部分时间内（除初、末时刻附近外）指数接近于关联平稳最优控制问题的最优控制及相应状态。特别地，前者随时间大多为常数。这一事实为某些最优控制问题在长时间区间上呈现的渐近简化提供了严格含义，允许考虑相应平稳问题以用于计算和应用。我们回顾了过去十年发展理论的一部分——底层系统的能控性是一个重要因素，甚至可用于设计近乎最优的简单类转向策略——并给出了若干新颖应用，其中包括 Hamilton-Jacobi-Bellman 渐近性质的刻画，以及通过残差神经网络在深度学习中的稳定性估计。