关于一类双连通域上拉普拉斯相关特征值问题的研究

我们考虑某类特定双连通域上拉普拉斯算子的两个特征值问题。具体地，我们研究如下两个特征值问题。设 $B_1$ 为 $\mathbb{R}^n$ 中的开球，$B_0$ 为含于 $B_1$ 中的球。设 $\nu$ 为 $\partial B_1$ 上的外单位法向量。则问题 \begin{align*} \begin{array}{rcll} \Delta u &=& 0 \, &\mbox{ in } \, B_1 \setminus \bar{B}_0 , \\ u &=& 0 \, &\mbox{ on } \, {\partial B_0}, \\ \frac{\partial u}{\partial \nu} &=& \tau \, u \, &\mbox{ on } \, {\partial B_1}, \end{array} \end{align*} 的第一特征值当且仅当 $B_0$ 与 $B_1$ 同心时取到最大值。设 $D$ 为非紧秩 1 对称空间 $(\mathbb{M}, ds^2)$ 中的区域，关于点 $p\in \mathbb{M}$ 测地对称。设 $B_0$ 为 $\mathbb{M}$ 中以 $p$ 为中心的球，满足 $\bar{{B}_0}\subset D$，$\nu$ 为 ${\partial (D \setminus \bar{B}_0)}$ 上的外单位法向量。则问题 \begin{align*} \begin{array}{rcll} \Delta u &=& \mu \ u \, &\mbox{ in } \, D \setminus \bar{B}_0, \\ \frac{\partial u}{\partial \nu} &=& 0 \, &\mbox{ on } \, {\partial (D \setminus \bar{B}_0)}, \end{array} \end{align*} 的第一个非零特征值当且仅当 $D$ 是以 $p$ 为中心的测地球时取到最大值。