关于调和函数在边界附近临界集的一个注记

设 $u$ 是 $C^1$ 区域 $D\subset \mathbb{R}^d$ 中的一个调和函数，该函数在边界的一个开子集上为零。在本注记中，我们研究其临界集 $\{x \in \overline{D}: \nabla u(x) = 0 \}$。当 $D$ 对于某个 $\alpha \in (0,1]$ 是 $C^{1,\alpha}$ 区域时，我们通过频率函数给出了临界集的 $(d-2)$-维豪斯多夫测度的一个上界。我们还讨论了将此类估计扩展到所有 $C^1$-Dini 区域的可能方法，$C^1$-Dini 区域是最优的区域类别，对于奇异集 $\{x \in \overline{D}: u(x) = 0 = |\nabla u(x)|\}$，已证明类似的估计对该类区域成立（参见 [KZ1, KZ2]）。