$q$-分数阶算子的单调性结果

在本文中，我们证明如果阶数为 $0<\alpha\leq 1$、$0<q<1$ 且起始于某个 $qa \in T_q=\{q^k: k \in \mathbb{Z}\}\cup \{0\},~~a>0$ 的 $q$-分数阶算子 $(~_{q}\nabla_{qa}^\alpha y)(t)$ 为正，且满足 $y(a) \geq 0$，则 $y(t)$ 是 $c_q(\alpha)$-递增的，其中 $c_q(\alpha)=\frac{1-q^\alpha}{1-q}q^{1-\alpha}$。反之，若 y(t) 递增且 $y(a)\geq 0$，则 $(~_{q}\nabla_{qa}^\alpha y)(t)\geq 0$。作为应用，我们证明了中值定理的 $q$-分数阶版本。