通过算子平均刻画算子单调性及其在算子不等式中的应用

我们证明连续函数 $f:(0,\infty) \to (0,\infty)$ 是算子单调递增当且仅当对任意正算子 $A,B$ 和标量 $t \in [0,1]$ 有 $f(A \: !_t \: B) \leqs f(A) \: !_t \: f(B)$。这里 $!_t$ 表示 $t$-加权调和平均。作为对应，$f$ 是算子单调递减当且仅当前述不等式反向成立。此外，我们得到许多关于算子平均的算子单调递增/递减性的刻画。这些刻画导出了许多涉及平均的算子不等式。