q-特征多项式的乘积展开

q-特征多项式环是对称群经典特征多项式环的 q-类比。该环由对所有 n 同时在群 $Gl_n(F_q)$ 上定义的某些类函数组成，我们也将其解释为矩阵上的统计量。此处我们在所有矩阵上计算这些统计量，并致力于计算该环中乘积的结构常数。我们证明这些统计量在 q 上是周期多项式，并由我们显式计算的、以整数分拆对为指标的通用多项式 $P_{\lambda,\mu}(q)$ 所支配。乘积结构在许多情形下类似地是 q 上的多项式，由以分拆三元组为指标的多项式 $R_{\lambda,\mu}^{\nu}(q)$ 所支配，我们在部分情形中计算了它们。我们的计算似乎展现出若干出乎意料的模式。主要地，我们猜想某些不可分解统计量生成整个环，并且确实对至多由 2 个 Jordan 块组成的矩阵相关联的统计量证明了这一点。此外，我们计算的系数展现出令人惊讶的稳定性现象，这反过来反映了当 $n\gg 1$ 时 $Gl_n(F_q)$ 表示张量积不可约分解中联合矩以及重数的稳定化。我们利用这一稳定化计算了两种尺寸的幂幺 Jordan 块数目的相关性。