有限域上三角矩阵的若尔当型

设 $\lambda$ 为 integer $n$ 的一个划分，${\mathbb F}_q$ 为阶为 $q$ 的有限域。令 $P_\lambda(q)$ 为若尔当型 $\lambda$ 的严格上三角 $n\times n$ 矩阵的个数。已知多项式 $P_\lambda$ 往往能被 $q$ 和 $Q=q-1$ 的高次幂整除，我们记 $P_\lambda(q)=q^{d(\lambda)}Q^{e(\lambda)}R_\lambda(q)$，其中 $R_\lambda(0)\neq0$ 且 $R_\lambda(1)\neq0$。本文研究多项式 $P_\lambda(q)$ 与 $R_\lambda(q)$。我们的主要结果有：$d(\lambda)$ 的显式公式（已知的 $e(\lambda)$ 显式公式见下文命题 3.3）、$R_\lambda(q)$ 的递归公式（已知的 $P_\lambda(q)$ 类似公式见下文命题 3.1）、通过添加由 1 组成的串来扩展 $\lambda$ 时 $R_\lambda$ 的稳定性，以及极限级数 $R_{\lambda1^\infty}$ 的显式公式。我们的研究受有限域上幂零代数群表示论中轨道方法的预期应用所推动。