模张量积分解与“Jordan 分拆”的周期性

设 $J_r$ 为有限域 $F$ 上的一个 $r\times r$ 矩阵，其最小多项式与特征多项式均为 $(t-1)^r$。假设 $r\leq s$。不难证明 $J_r\otimes J_s$ 的 Jordan 标准型相似于 $J_{\lambda_1}\oplus\cdots\oplus J_{\lambda_r}$，其中 $\lambda_1\geq\cdots\geq\lambda_r>0$ 且 $\sum_{i=1}^r\lambda_i=rs$。$rs$ 的分拆 $\lambda(r,s,p):=(\lambda_1,\dots,\lambda_r)$ 仅依赖于 $r$、$s$ 以及 $F$ 的特征 $p$，它在包括代数群研究在内的诸多领域有广泛应用。我们证明了 $\lambda(r,s,p)$ 的依赖于超过 $r$ 的最小 $p$ 次幂的新周期性与对偶性结果。这推广了 J. A. Green、B. Srinivasan 等人依赖于超过（可能很大的）整数 $s$ 的最小 $p$ 次幂的结果。我们表明，对于固定的 $r$，可以构造一个有限的表格，从而允许对所有满足 $s\geq r$ 的 $s$ 以及所有素数 $p$ 计算 $\lambda(r,s,p)$。这推广了 K-i. Iima 和 R. Iwamatsu 的工作。