Jordan 簇的不可约分支

我们在此宣布关于代数 $R=k<x,y>/ (xy-yx-y^2)$（称为 Jordan 平面或 Jordan 代数）表示论的一系列结果。我们考虑了 Jordan 代数上有限维模的“分类”问题。对于任意维数 $n$，给出了表示簇 $mod (R,n)$（我们称之为 Jordan 簇）的不可约分支的完整描述。该描述基于与该簇的与 $Y$ 的 Jordan 标准型相关的分层。表示簇的每个不可约分支仅包含与 $n$ 的某个划分相关的一个层，并且是该层的闭包。因此，不可约分支的数量等于 $n$ 的划分数。作为上述结果的准备，我们描述了 Jordan 代数上两两非同构的不可约模 $S_{a}$ 的完整集合，以及它们如何粘合为不可分解模的规则。即，我们证明如果 $a \neq b$，则 ${\rm Ext}^1(S_{a},S_{b})=0$。然后我们研究了自同态环中像代数的性质。特别地，研究了来自最重要层（对应于完整 Jordan 块 $Y$）的表示的像。该层被证明是在不可约分支层面上 Krull-Remark-Schmidt 分解定理类似物的唯一构建模块。沿着这条思路，我们建立了关于由两个交换矩阵生成的代数的维数的 Gerstenhaber--Taussky--Motzkin 定理的类似物。另一个事实涉及这些像代数的 tame-wild 问题。我们证明，对于 $n \leq 4$，所有 $n$ 维表示的像代数是 tame 的，而对于 $n \geq 5$ 则是 wild 的。