关于格点计数函数的 Rogers-Shephard 型不等式

本文研究了 $\mathbb{R}^n$ 上格点计数函数 $\mathrm{G}_{n}(\cdot)$ 的各类 Rogers-Shephard 型不等式。特别地，对任意非空凸有界集 $K,L\subset\mathbb{R}^n$，我们证明\n$$\n\mathrm{G}_{n}(K+L)\mathrm{G}_{n}\bigl(K\cap(-L)\bigr) \leq\binom{2n}{n} \mathrm{G}_{n}\bigl(K+(-1,1)^n\bigr)\mathrm{G}_{n}\bigl(L+(-1,1)^n\bigr).\n$$\n以及对于 $H=\mathrm{lin}\{\mathrm{e}_1,\dots,\mathrm{e}_k\}$, $k\in\{1,\dots,n-1\}$，\n$$\n\mathrm{G}_{n-k}(P_{H^\perp} K)\mathrm{G}_{k}(K\cap H)\leq\binom{n}{k}\mathrm{G}_{n}\bigl(K+(-1,1)^n\bigr).\n$$\n此外，我们给出了 Berwald 关于凹函数经典结果的离散对应形式，由此可导出其他离散 Rogers-Shephard 型不等式。进而，我们证明这些关于 $\mathrm{G}_{n}(\cdot)$ 的新的离散类比蕴含了涉及 Lebesgue 测度的相应结果。