格上高斯测度的一个不等式

\newcommand{\R}{\ensuremath{\mathbb{R}}} \newcommand{\lat}{\mathcal{L}} \newcommand{\ensuremath}[1]{#1} 我们证明，对于任意格 $\lat \subseteq \R^n$ 和向量 $\vec{x}, \vec{y} \in \R^n$，有 $$\rho(\lat + \vec{x})^2 \rho(\lat + \vec{y})^2 \leq \rho(\lat)^2 \rho(\lat + \vec{x} + \vec{y}) \rho(\lat + \vec{x} - \vec{y}) \; ,$$ 其中 $\rho$ 是高斯测度，定义为 $\rho(A) := \sum_{\vec{w} \in A} \exp(-\pi \| \vec{w} \| ^2)$。我们展示了该不等式的若干应用，包括离散高斯分布矩的界、平坦环面上热核的各种单调性性质，以及格上高斯测度的正相关性不等式。