关于 $\mathbb Z^2$ 中良取整子格的分布

若一个格的最小向量张成相应的欧氏空间，则称该格为良 round（well-rounded）。本文完全描述了 ${\mathbb Z}^2$ 的满秩良取整子格，以及它们的行列式集合与极小值集合。我们证明行列式集合具有正密度，并给出其显式下界，而极小值集合的密度为 0。我们还给出了具有固定行列式与具有固定最小值的此类格的数量公式。这些公式分别关联到短区间内整数的因子个数及其表示为两平方和的方式数。我们研究了当行列式增大时具有固定行列式的此类格的数量增长，并给出了一些使该数量特别大的行列式序列。为此，我们还研究了相关的 zeta 函数的性态，将其与高斯整数的 Dedekind zeta 函数以及 ${\mathbb Z}^2$ 的 Solomon zeta 函数进行比较。我们的结果自动推广到任意格 $A {\mathbb Z}^2$ 的良取整子格，其中 A 为实正交群 $O_2({\mathbb R})$ 中的元素。