$\mathbb{Z}^n$ 的大多数子环具有较大的余秩

若 $\Lambda \subseteq \mathbb{Z}^n$ 为指数为 $m$ 的子格，则 $\mathbb{Z}^n/\Lambda$ 为秩至多为 $n$ 的有限阿贝尔群，阶为 $m$。 Several authors 已研究当指数不超过 $X$ 时遍历所有子格时，这些群的统计性质。在本文中，我们考察由具有额外代数结构的子格构成的商。尽管 $\mathbb{Z}^n/\Lambda$ 遵循科恩-莱斯特赫梅准则且通常非常接近循环，但我们指出若 $\Lambda$ 实际上是一个子环，则当 $n \ge 7$ 时，这些商极少为循环。更一般地，我们指出当 $n$ 足够大时，这些商通常具有非常大的秩。为证明我们的主要定理，我们结合了分析数论和组合数学的技术。我们研究与 $\mathbb{Z}^n$ 相关的特定 zeta 函数，也证明了若干关于 Hermite 标准形矩阵的论述，其列张成 $\mathbb{Z}^n$ 的子环。