二维高斯乘积不等式的定量形式

高斯乘积不等式（GPI）猜想是与高斯分布相关的最著名的不等式之一，已引起广泛关注。本文中，我们研究二维高斯乘积不等式的定量形式。对于任意方差为 $\sigma_1^2, \sigma_2^2$、相关系数为 $\rho$ 的零均值非退化二维高斯随机向量 $(X_1, X_2)$，我们证明对任意实数 $\alpha_1, \alpha_2\in (-1,0)$ 或 $\alpha_1, \alpha_2\in (0,\infty)$，有 $${\bf E}[|X_1|^{\alpha_1}|X_2|^{\alpha_2}]-{\bf E}[|X_1|^{\alpha_1}]{\bf E}[|X_2|^{\alpha_2}]\ge f(\sigma_1,\sigma_2,\alpha_1, \alpha_2, \rho)\ge 0,$$ 其中函数 $f(\sigma_1,\sigma_2,\alpha_1, \alpha_2, \rho)$ 将由 Gamma 函数显式给出，且在 $\rho\neq 0$ 时为正。当 $-1<\alpha_1<0$ 且 $\alpha_2>0$ 时，Russell 与 Sun（arXiv: 2205.10231v1）证明了“反向高斯乘积不等式”，我们也将给出其定量形式。这些定量不等式通过超几何函数与广义超几何函数推导得出。