高斯关联不等式的非对称例子

在本文中，我们比较 $N$ 个标准高斯随机变量极大值的两种方差。其一为 $N$ 个独立同分布标准高斯变量序列，其二为 $N$ 个协方差满足 $\sigma_{1,2}=\rho \in(0,1)$ 且对其他 $i\neq j$ 有 $\sigma_{i,j}=0$ 的标准高斯变量。结果表明我们需要讨论关于多元高斯分布的两个函数的协方差。高斯关联不等式对许多（关于原点的）对称情形成立。然而在我们的情况中，极大值函数及其导数关于原点并非对称。本文有两个主要结果。首先，我们证明了标准多元高斯分布下凸/对数凹关联不等式的一个特定情形。另一结果是，当 $\sigma_{1,2}=\rho \in(0,1)$ 而对其他 $i\neq j$ 有 $\sigma_{i,j}=0$ 时，标准高斯极大值的方差大于独立标准高斯极大值的方差。这意味着 $N$ 个独立同分布标准高斯极大值的方差随 $N$ 递减。