标准化高斯增量的极值分析

设 $\{X_i,i=1,2,...\}$ 为独立同分布的标准高斯变量。设 $S_n=X_1+...+X_n$ 为部分和序列，并令\n$$L_n=\max_{0\leq i<j\leq n}\frac{S_j-S_i}{\sqrt{j-i}}.$$\n我们证明，$L_n$ 的分布在适当归一化后，当 $n\to\infty$ 时收敛于 Gumbel 分布。在某种意义上，随机变量 $L_n$ 作为 $n(n+1)/2$ 个相依标准高斯变量的最大值，其行为类似于 $Hn\log n$ 个独立标准高斯变量的最大值，其中 $H\in (0,\infty)$ 为某一常数。我们还证明了上述结果在布朗运动情形下的一个版本。