格点 $\mathbb{Z}^d$ 的高斯扰动下线性统计量的涨落

我们研究 $\mathbb{R}^d$ 中的点过程 $W$,该过程通过对 $\mathbb{Z}^d$ 中每个点加上一个独立的高斯向量得到。我们主要关注大体积极限下线性统计量涨落的渐近大小,其定义为 $$N(h,R) = \sum_{w\in W} h\left(\frac{w}{R}\right),$$ 其中 $h\in \left(L^1\cap L^2\right)(\mathbb{R}^d)$ 为测试函数且 $R\to \infty$。我们还将考虑过程 $W$ 的平稳对应过程,方法是对所有扰动加上一个在 $[0,1]^d$ 上均匀分布且独立于所有高斯变量的随机向量。我们关注两个主要的有意义例子:当测试函数 $h$ 为光滑函数,或为具有光滑边界且曲率不为零的凸集的示性函数时。