平均过程在其退化稳态附近的微小涨落

我们分析了离散 $d$ 维环面上连续退化 Gibbs 采样器沿边运行的平均过程在 $\mathbb T_\varepsilon^d$ 上的非平衡涨落。我们证明，如果从一个光滑的确定性非平坦界面出发，进行重居中，以非标准的 CLT 标度因子 $\theta_\varepsilon=\varepsilon^{-(d/2+1)}$ 进行放大，并进行扩散重标度，则在极限 $\varepsilon\to 0$ 下会出现高斯涨落。这些涨落是纯动力学的，在 $t=0$ 和 $t=\infty$ 时为零，而在 $t\in (0,\infty)$ 时非平凡。我们完全确定了极限噪声的相关矩阵，当 $d\ge 2$ 时该矩阵为非对角阵。这一随机均匀化过程的主要技术挑战在于离散梯度平方的加权时空平均的 LLN。我们通过关于边更新潜在随机性的 Poincaré 不等式（Poisson 空间中 Malliavin 计算的一个工具）实现了这一点。该不等式结合梯度的精确二阶矩估计，在无需预先知道极限均值的情况下给出了定量方差界。我们的方法避免了高阶（例如四阶）矩界，这在现有技术下似乎是无法获得的。