随机镶嵌与 Hamilton-Jacobi 方程的 Gibbs 型解

本文致力于两个目标。作为第一个目标，我们在分段线性凸函数 $g:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}$ 的集合上构造了一族类 Gibbs 测度 $\mathcal{M}_G$。结果表明，此类凸函数的梯度与 $\textit{Laguerre 镶嵌}$ 之间存在一一对应。Laguerre 镶嵌中的每个单元都是一个凸多边形，并标记有一个向量 $\rho\in\mathbb{R}^2$。我们这族测度中的每个测度 $\nu^f\in\mathcal{M}_G$ 都由核 $f(x,\rho^-,\rho^+)$ 唯一刻画，该核表示分隔标记为 $\rho^-$ 和 $\rho^+$ 的两个单元的直线经过 $x$ 的速率。为构造我们的测度，我们给出了镶嵌在盒子内限制的确切法则。该法则涉及边界条件，以及我们随机镶嵌在盒子内部的动力学描述。当我们放大盒子时，这些随机镶嵌的一致性要求该核满足一个合适的类动力学 PDE。作为第二个目标，我们研究集合 $\mathcal{M}_G$ 关于此类 Hamilton-Jacobi PDE 动力学的不变性。特别地，我们 $\textit{猜想}$ $\mathcal{M}_G$ 的某个合适子族 $\widehat{\mathcal{M}_G}$ 的不变性。更确切地说，我们期望若初始斜率 $u_x(\cdot,0)$ 根据测度 $\nu^{f}\in \widehat{\mathcal{M}_G}$ 选取，则在稍后时刻 $u_x(\cdot, t)$ 的律由测度 $\nu^{\Theta_t(f)}\in\widehat{\mathcal{M}_G}$ 给出，其中 $\Theta_t(f)$ 为合适的核。当 $t$ 变化时，核 $\Theta_t(f)$ 必须满足一个合适的动力学方程。我们注意到函数 $u$ 也是 $(x,t)$ 中的分段线性凸函数，且其律是 $\mathbb{R}^3$ 中某些凸子集的 Laguerre 镶嵌集合上类 Gibbs 测度的一个例子。