平稳剖分极值的一般性研究及其应用

设 $\mathfrak{m}$ 为在 $\mathbf{R}^d$ 中有界 Borel 子集 $W$ 中观测到的随机剖分，$f(\cdot)$ 为定义在凸体集上的可测函数。对 $\mathfrak{m}$ 的每个胞腔 $C$，我们关联一个点 $z(C)$，即 $C$ 的核。将 $f(\cdot)$ 应用于 $\mathfrak{m}$ 的所有胞腔，我们研究当 $\rho \to \infty$ 时，核位于 $\mathbf{W}_{\rho}=\rho^{1/d}W$ 的所有胞腔 $C\in\mathfrak{m}$ 上 $f(C)$ 的次序统计量。在强混合性质以及对 $\mathfrak{m}$ 和 $f(\cdot)$ 的局部条件下，我们证明了一个一般性定理，将对次序统计量的研究简化为对随机变量 $f(\mathscr{C})$ 的研究，其中 $\mathscr{C}$ 是 $\mathfrak{m}$ 的典型胞腔。证明是通过 Chen-Stein 方法在依赖图上进行泊松近似推导得出的。我们得到点过程 $\left\{(\rho^{-1/d}z(C), a_{\rho}^{-1}(f(C)-b_{\rho})), C\in\mathfrak{m}, z(C)\in \mathbf{W}_{\rho}\right\}$（其中 $a_{\rho}>0$ 和 $b_{\rho}$ 是依赖于 $\rho$ 的两个适当函数）收敛于一个非齐次泊松点过程。在泊松 - 沃罗诺伊 (Poisson-Voronoi) 和泊松 - 德劳内 (Poisson-Delaunay) 剖分的特定设定下，针对不同的函数 $f(\cdot)$（如内切圆半径、外接圆半径、面积、沃罗诺伊花的体积以及到最远邻点的距离），推导了该一般定理的若干应用。当局部条件不成立且归一化最大值收敛时，其渐近行为取决于两个量：$f(\mathscr{C})$ 的分布函数和一个常数 $\theta\in [0,1]$（即所谓的极值指数）。