高维典型 Poisson-Voronoi 胞腔的形状

我们研究 Poisson-Voronoi 镶嵌的典型胞腔。我们证明，当除以 Poisson 过程的强度参数 $\lambda$ 的 $d$ 次方根乘以单位球体积时，典型胞腔的内径、外径、直径和平均宽度在维度 $d\to\infty$ 时分别依概率收敛于常数 $1/2, 1, 2, 2$。我们还证明，当以相同方式重新缩放时，典型胞腔的宽度以 $1-o_d(1)$ 的概率介于 $2\sqrt{5}/(2+\sqrt{5})-o_d(1)$ 和 $3/2+o_d(1)$ 之间。这些结果特别意味着，以 $1-o_d(1)$ 的概率，典型胞腔与任意球之间的 Hausdorff 距离至少与典型胞腔的直径同阶。此外，我们证明，对于所有满足 $d-k\to\infty$ 的 $k$，以 $1-o_d(1)$ 的概率，所有维度为 $k$ 的面，其直径的阶远小于完整典型胞腔的直径、内径等的阶。对于 $k$ 固定时“几乎所有”维度为 $d-k$ 的面，情况也是如此。并且，我们证明此类面的数量以 $1-o_d(1)$ 的概率为 $\left( (k+1)^{(k+1)/2} / k^{k/2} \pm o_d(1) \right)^d$。