平面的随机线镶嵌：多边形胞元的统计性质

我们研究了一族欧几里得平面的随机线镶嵌，该族镶嵌由 Hug 和 Schneider [Geom. Funct. Anal. 17, 156 (2007)] 在更形式化的背景下引入，并由参数 $\alpha\geq 1$ 描述。当 $\alpha=1$ 时，零胞元（即包含原点的胞元）与泊松线镶嵌的 Crofton 胞元重合；当 $\alpha=2$ 时，它与典型的泊松 -Voronoi 胞元重合。设 $p_n(\alpha)$ 为零胞元具有 $n$ 条边的概率。利用统计力学方法，我们构建了 $\log p_n(\alpha)$ 的渐近展开式，直至 $n\to\infty$ 时消失的项。在大 $n$ 极限下，胞元被证明趋于圆形。当 $\alpha>1$ 时，圆心位于原点；但对于 Crofton 胞元（$\alpha=1$），圆心发生离域，这是参数范围内的一个奇异点。因此，$\log p_n(1)$ 的大 $n$ 展开式与一般情况不同，我们展示了如何进行该展开。作为推论，我们获得了泊松线镶嵌中典型 $n$ 边胞元的类似展开式。