任意底层密度下随机 Voronoi 单元的渐近性质

我们考虑由 $n$ 个独立同分布的 $\mathbb{R}^{d}$ 值随机变量在 $\mathbb{R}^{d}$ 上以任意底层概率密度函数 $f$ 生成的 Voronoi 图，并分析当 $n$ 趋于无穷时 Voronoi 单元某些几何性质（如测度）的渐近行为。我们借鉴 Devroye 等人（2017）所用方法，研究两类 Voronoi 单元的渐近性质：1，具有固定核的 Voronoi 单元；2，包含固定点的 Voronoi 单元。对于第一类 Voronoi 单元，我们证明其几何性质类似于由齐次 Poisson 点过程生成 Voronoi 图的情形。对于第二类 Voronoi 单元，我们确定了单元经重标度测度的极限分布，该分布在 $f$ 的所有选择下具有普适性。对两类单元，我们均建立了不相交单元测度的渐近独立性。