黎曼流形上泊松-维诺单元的平均渐近性

本文考虑黎曼流形$M$以及由固定点$x_0$与$M$上强度为$\lambda$的泊松点过程的并集生成的泊松-维诺镶嵌。我们对与$x_0$关联的维诺单元若干特征量的均值获得至二阶的渐近展开，包括其体积与顶点数。在每种情形下，估计的首项等于欧氏情形下的均值特征，而第二项可包含$M$在$x_0$处的特定曲率：平均顶点数情形为标量曲率，顶点密度情形为Ricci曲率，而维诺单元截面的面积与顶点数情形为截面曲率。在常曲率这一特殊情形下还导出若干显式公式。证明这些结果的关键工具是黎曼情形下新的Blaschke-Petkantschin型变量替换公式。最后，由二维镶嵌总顶点数的渐近估计推导出Gauss-Bonnet定理的一个概率证明。