自由群的有限逼近 I：$F$-逆覆盖问题

对于具有边集 $E$ 的有限连通图 $\mathcal{E}$，构造一个有限的 $E$-生成群 $G$，使得 $G$ 满足的关系式 $p=1$（$p$ 为 $E\cup E^{-1}$ 上的字）在删除生成元（即边）下封闭。由此，每个元素 $g\in G$ 容许唯一最小的边集 $\mathrm{C}(g)$（即 $g$ 的\emph{内容}）用以将 $g$ 表示为 $\mathrm{C}(g)\cup\mathrm{C}(g)^{-1}$ 上的字。群 $G$ 的关键性质在于图 $\mathcal{E}$ 中的连通性在 $G$ 中按如下意义被编码：若字 $p$ 在 $\mathcal{E}$ 中形成一条路径 $u\longrightarrow v$，则存在 $G$-等价的字 $q$ 同样形成一条路径 $u\longrightarrow v$ 且只使用其内容的边；特别地，相应群元素 $[p]_G=[q]_G$ 的内容张成 $\mathcal{E}$ 中包含顶点 $u$ 和 $v$ 的连通子图。由于由 $E$ 生成的自由群显然具有这些性质，该构造提供了自由群的某些特征如何在有限群中被“逼近”或“模拟”的又一实例。作为应用，我们证明每个有限逆幺半群容许一个有限 $F$-逆覆盖。这解决了 Henckell 和 Rhodes 的一个长期问题。