有限整数集上线性形式的逆问题

设 $f(x_1,x_2,...,x_m) = u_1x_1+u_2 x_2+... + u_mx_m$ 为具有正整数系数的线性形式，令 $N_f(k) = \min\{|f(A)| : A \subseteq \mathbb{Z} \text{ 且 } |A|=k\}$。$f$ 的一个极小化 $k$-集是指满足 $|A|=k$ 且 $|f(A)| = N_f(k)$ 的集合 $A$。正整数有限序列 $(u_1, u_2,...,u_m)$ 被称为完备的，若 $\{\sum_{j\in J} u_j : J \subseteq \{1,2,..,m\}\} = \{0,1,2,..., U\}$，其中 $U = \sum_{j=1}^m u_j$。本文证明：若 $f$ 是一个 $m$ 元线性形式，且其系数序列 $(u_1,...,u_m)$ 是完备的，则 $N_f(k) = Uk-U+1$，且极小化 $k$-集恰好是长度为 $k$ 的等差数列。此外，还获得了关于有限整数集上线性形式的其他极值结果。