部分 $k$-树补图的逆惯性问题

设 $\mathbb{F}$ 为特征不等于 2 的无限域。对于顶点集 $V=\{1,...,n\}$ 的图 $G=(V,E)$，令 $S(G;\mathbb{F})$ 为 $\mathbb{F}$ 上所有对称 $n\times n$ 矩阵 $A=[a_{i,j}]$ 的集合，其中当且仅当 $ij\in E$ 时 $a_{i,j}\not=0$ ($i\not=j$)。我们证明，如果 $G$ 是部分 $k$-树的补图且 $m\geq k+2$，则对于 $\mathbb{F}$ 上的所有非奇异对称 $m\times m$ 矩阵 $K$，存在一个 $m\times n$ 矩阵 $U$ 使得 $U^T K U\in S(G;\mathbb{F})$。作为推论，我们得到：如果 $k+2\leq m\leq n$ 且 $G$ 是部分 $k$-树的补图，则对于任意两个满足 $p+q=m$ 的非负整数 $p$ 和 $q$，在 $S(G;\reals)$ 中存在一个具有 $p$ 个正特征值和 $q$ 个负特征值的矩阵。