完全多部图的平方距离矩阵的逆

设 $G$ 为具有 $n$ 个顶点的连通图，$d_{ij}$ 为 $G$ 中顶点 $i$ 与 $j$ 之间最短路径的长度。对每个顶点 $i\in G$ 令 $d_{ii}=0$。图 $G$ 的平方距离矩阵 $\Delta(G)$ 是一个 $n\times n$ 矩阵，其第 $(i,j)$ 项在 $i=j$ 时为 $0$，在 $i\neq j$ 时为 $d_{ij}^2$。对于给定的具有 $n=\sum_{i=1}^t n_i$ 个顶点的完全 $t$-部图 $K_{n_1,n_2,\cdots,n_t}$，在某些条件下，我们求得其逆 $\Delta(K_{n_1,n_2,\cdots,n_t})^{-1}$ 为对称类拉普拉斯矩阵 $\mathcal{L}$ 的秩一扰动，其中 $\textup{rank} (\mathcal{L})=n-1$。我们还研究了 $\mathcal{L}$ 的惯性。