关于加权平衡有向图的电阻矩阵

设 $G$ 是一个连通图，其顶点集为 $V(G)=\{1,\dotsc,n\}$。那么任意两个顶点 $i$ 和 $j$ 之间的电阻距离由 $r_{ij}:=l_{ii}^{\dag} + l_{jj}^{\dag}-2 l_{ij}^{\dag}$ 给出，其中 $l_{ij}^\dag$ 是 $G$ 的拉普拉斯矩阵的 Moore-Penrose 逆的第 $(i,j)$ 个元素。对于电阻矩阵 $R:=[r_{ij}]$，有一个计算 $R$ 的逆的简洁公式。该公式表明 $$R^{-1}=-\frac{1}{2}L + \frac{1}{\tau' R \tau} \tau \tau',$$ 其中 $$\tau:=(\tau_1,\dotsc,\tau_n)'~~\mbox{且}~~ \tau_{i}:=2- \sum_{\{j \in V(G):(i,j) \in E(G)\}} r_{ij}~~~i=1,\dotsc,n.$$ 本文得到了这一结果的一个意义深远的推广，给出了强连通且矩阵加权的平衡有向图的广义电阻矩阵的逆公式。当权重为标量时，证明了广义电阻是一个非负实数。我们还得到了一个涉及连通图电阻矩阵和有向图拉普拉斯矩阵的扰动结果。