关于块塔图电阻距离的一个猜想的解

设$G$是一个连通图。$G$的两个顶点$u$和$v$之间的电阻距离，记为$R_{G}[u,v]$，定义为在由$G$通过用单位电阻替换每条边构建的电网中它们之间的净有效电阻。$G$的电阻直径，记为$D_{r}(G)$，定义为$G$的所有顶点对之间的最大电阻距离。设$P_n=a_1a_2\ldots a_n$是$n$个顶点的路径图，$C_{4}=b_{1}b_2b_3b_4b_{1}$是4-圈。则第$n$个块塔图$G_n$定义为$P_n$和$C_4$的笛卡尔积，即$G_n=P_{n}\square C_4$。显然，$G_n$的顶点集为$\{(a_i,b_j)|i=1,\ldots,n;j=1,\ldots,4\}$。在[Discrete Appl. Math. 320 (2022) 387--407]中，Evans和Francis提出了关于$G_n$和$G_{n+1}$的电阻距离的如下猜想：\begin{equation*} \lim_{n \rightarrow \infty}\left(R_{G_{n+1}}[(a_{1},b_1),(a_{n+1},b_3)]-R_{G_{n}}[(a_{1},b_1),(a_{n},b_3)]\right)=\frac{1}{4}. \end{equation*} 在本文中，结合代数方法和电网方法，我们证实并进一步推广了这个猜想。此外，我们确定了$G_n$中的所有电阻直径对，从而能够给出该猜想的等价解释。