图的最小常数阻值曲率猜想研究

设 $G$ 为一个具有 $n$ 个顶点的连通图。图 $G$ 中任意两个顶点 $i$ 和 $j$ 之间的阻值距离 $\Omega_{G}(i,j)$ 定义为将 $G$ 中每条边替换为单位电阻器后构建的电气网络中 $i$ 和 $j$ 之间的有效电阻。图的阻值矩阵记为 $R_G$，为 $n \times n$ 矩阵，其 $(i,j)$ 项等于 $\Omega_{G}(i,j)$。顶点 $i$ 处的阻值曲率 $\kappa_i$ 定义为向量 $(R_G)^{-1}\mathbf{1}$ 的第 $i$ 量分量，其中 $\mathbf{1}$ 表示全1向量。如果图中所有顶点的曲率相等，则称 $G$ 拥有常数阻值曲率。最近，Devriendt、Ottolini 和 Steinerberger \cite{kde} conjectured 循环图 $C_n$ 在常数阻值曲率图中具有最小曲率。本文确认了该猜想。作为副产品，我们也解决了Xu、Liu、Yang 和 Das \cite{kxu} 于2016年提出的开放问题。我们的证明主要依赖于对2-connected图中给定顶点到其他所有顶点的阻值距离之和的最大值进行刻画。