距离例外图与曲率指标

如果方程 $D\vec{x} = \vec{1}$ 不存在解 $\vec{x}\in\mathbb{R}^{n}$，其中 $D\in\mathbb{R}^{n\times n}$ 是图 $G=(V,E)$（具有 $n$ 个顶点）的最短路径距离矩阵，则称该图为 \emph{距离例外图}。Steinerberger 在离散曲率概念的背景下首次研究了这些图（“通过平衡测度的图曲率”，\emph{Journal of Graph Theory}, 103(3), 2023）。这项工作引发了关于距离例外图的几个开放问题，包括：这类图的结构是什么？如何刻画它们？它们有多罕见？在本文中，我们通过我们称之为 \emph{曲率指标} 的图不变量的视角来研究这些问题。我们证明，当且仅当该不变量为零时，图是距离例外的，并且我们发展了该不变量在包括笛卡尔积和图连接在内的图操作下的运算法则。作为结果，我们恢复并推广了该领域的若干已知结论。我们证明，任何图 $G$ 都可以实现为距离例外图 $G'$ 的导出子图。此外，在许多情况下，这种嵌入是等距的。这反过来提供了多种构造距离例外图的方法。