齿轮图距离矩阵的逆公式

文献\cite{JAK}研究了某些星状图的距离矩阵。这些图是树，包括星图、轮图、舵图和齿轮图。在上述星状图列表中，除齿轮图外，文献中已有精确公式可计算其距离矩阵的逆/Moore-Penrose逆。这些公式表明，若$D$是$G$的距离矩阵，则$D^\dagger = -\frac{1}{2}L+uu'$，其中$L$为类拉普拉斯矩阵，它是半正定且所有行和均为零。矩阵$L$与向量$u$仅依赖于$G$的度数与顶点数，因此可直接由$G$写出。最早得到的公式是Graham与Lov\'{a}sz \cite{GL}关于树的距离矩阵。本文中，我们得到此类优雅公式以计算齿轮图距离矩阵的Moore-Penrose逆。