关于带矩阵权重的树的距离矩阵与拉普拉斯矩阵

简单连通图 $G$ 的\emph{距离矩阵}为 $D(G)=(d_{ij})$，其中 $d_{ij}$ 是 $G$ 中顶点 $i$ 与 $j$ 之间的距离。我们考虑一个具有 $n$ 个顶点的加权树 $T$，其边权重为同阶方阵。顶点 $i$ 与 $j$ 之间的距离 $d_{ij}$ 是从 $i$ 到 $j$ 的唯一路径上各边权重矩阵之和。本文中，我们基于与之关联的（矩阵）加权拉普拉斯矩阵的秩给出了树的一个刻画。随后，我们建立了带矩阵权重的距离矩阵 $D$ 可逆的充要条件，并给出了 $D$ 可逆时的逆矩阵公式。此外，我们研究了矩阵加权树的距离矩阵在拉普拉斯矩阵、广义逆与特征值方面的若干性质。